Question

直线l与圆x²+y²=1相切，并且在两坐标轴上的截距之和等于

3

，则直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积等于（　　）

• A、

  3

  2

• B、

  1

  2

• C、1或3
• D、

  1

  2

  或

  3

  2

Answer 1

考点：圆的切线方程,直线的截距式方程

专题：直线与圆

分析：设出直线l与坐标轴的交点，表示出三边关系（勾股定理，面积相等，截距之和为

3

），化简为三角形面积，即可．

解答： 解：设直线分交x轴于A（a，0），y轴B（0，b），
则|a|＞1，|b|＞1．
∵截距之和等于

3

，
∴直线l的斜率大于0．
∴ab＜0．
令|AB|=c
则c²=a²+b²…①
∵直线l与圆x²+y²=1相切，
∴圆心（0，0）到直线AB的距离d=r=1．
由面积可知c•1=|a•b|…②
∵a+b=

3

，
∴（a+b）²=3…③
由①②③可得（ab）²+2ab-3=0．
ab=-3或ab=1．
又∵ab＜0，
∴ab=-3
于是直线l与两坐标轴围成的三角形的面积
S=

1

2

•|ab|=

3

2

．
故选：A．

点评：本题考查直线与圆的位置关系，直线的截距式方程，二次计算三角形面积方法，是中档题