Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知圆C经过，，（）三点，M是线段上的动点，，是过点且互相垂直的两条直线，其中交y轴于点E，交圆C于P、Q两点.

（1）若，求直线的方程；

（2）若是使恒成立的最小正整数

①求的值； ②求三角形的面积的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①，②.

【解析】

（1）求出圆的标准方程，设直线的方程，利用，结合圆心到直线的距离分析可得，解可得的值，验证直线与轴有无交点，即可得答案；

（2）①设，由点在线段上，得，由，得，结合题意，线段与圆至多有一个公共点，分析可得，分析可得的值，

②由①的结论，分直线的斜率存在与不存在2种情况讨论，用表示三角形的面积，结合二次函数的性质分析可得答案．

解：（1）由题意可知，圆C的直径为，

所以圆C方程为：，设方程为：，则，

解得，，当时，直线与y轴无交点，不合题意，舍去.

所以，时直线的方程为.

（2）①设，由点在线段上，则有，即．

由，则有

依题意知，线段与圆至多有一个公共点，

故，解可得或，

因为是使恒成立的最小正整数，所以；

②由①的结论，圆的方程为．

分2种情况讨论：

当直线时，直线的方程为，此时，；

当直线的斜率存在时，设的方程为，，

则的方程为，

点，所以，

又圆心到的距离为，

所以，

故，

又由，

故求三角形的面积的最小值为．