题目内容

如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC位于矩形AEDC中，B点为ED的中点，AC=AA1=2AE=2．
（1）求异面直线AB1与A1D所成角的余弦值；
（2）求平面A1B1E与平面AEDC所成二面角大小的余弦值．
（Ⅰ）以A为原点，建立空间直角坐标系A-xyz如图所示，则A1（0，0，2），B1（1，1，0），B（1，1，2），D（1，2，0），E（1，1，0）
从而
AB1
=（1，1，2），
A1D
=（1，2，-2）
∴cos＜
AB1
，
A1D
＞=-
6
18

又由两异面直线夹角的范围是（0，
π
2
]
∴异面直线AB1与A1D所成角的余弦值为
6
18

（II）设
n
=（x，y，z）为平面A1B1E的一个法向量
∵
A1E
=（1，0，-2），
A1B1
=
AB
=（1，1，0）
由
n
•
A1E
=0
n
•
AB
=0
，即
x-2z=0
x+y=0

令z=1，得平面A1B1E的一个法向量
n
=（2，-2，1）
又∵
m
=
AA1
=（0，0，2）是平面AEDC的一个法向量
由cos＜
m
，
n
＞=
2
2×3
=
1
3
得
平面A1B1E与平面AEDC所成二面角的余弦值为
1
3

练习册系列答案
相关题目
如图，四棱锥P-ABCD中，PB⊥底面ABCD，CD⊥PD．底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=PB．点E在棱PA上，．
（1）求异面直线PA与CD所成的角；
（2）点E在棱PA上，且
PE
=λ
EA
，当λ为何值时，有PC∥平面EBD；
（3）在（2）的条件下求二面角A-BE-D的平面角的余弦值．
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BC1与平面BB1D1D所成的角是（　　）
A．90°B．60°C．45°D．30°
如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角的余弦值是（　　）
A．
15
5
B．
2
2
C．
10
5
D．0
如图，ABCD是边长为2的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF=3．
（1）求证：AC⊥平面BDE；
（2）求直线AB与平面BEF所成的角的正弦值；
（3）线段BD上是否存在点M，使得AM∥平面BEF？若存在，试确定点M的位置；若不存在，说明理由．
一个多面体的直观图及三视图分别如图1和图2所示（其中正视图和侧视图均为矩形，俯视图是直角三角形），M、N分别是AB1、A1C1的中点，MN⊥AB1．


（Ⅰ）求实数a的值并证明MN∥平面BCC1B1；
（Ⅱ）在上面结论下，求平面AB1C1与平面ABC所成锐二面角的余弦值．
如图，边长为2的正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，AD与CE的交点为M，AC⊥BC，且AC=BC．
（1）求证：AM⊥平面EBC；
（2）求二面角A-EB-C的大小．
如图所示，、、是圆上的三点，的延长线与线段交于圆内一点，若
，则 （    ）
A．B．
C．D．
已知向量，，，若三点共线，则实数的值为      _   ．

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