Question

【题目】已知为椭圆上的动点，过点作轴的垂线段， 为垂足，点满足.

（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；

（Ⅱ）若两点分别为椭圆的左右顶点， 为椭圆的左焦点，直线与椭圆交于点，直线的斜率分别为，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）动点的轨迹的方程为 （Ⅱ）

【解析】【试题分析】（1）先设，进而求得点，再依据题设条件求得，然后借助为椭圆上的点，进而消去参数从而求得动点的轨迹的方程为；（2）先求出点，再设，进而依据求出，进而借助且，及在和都是单调减函数，求出的范围为：

解：（Ⅰ）设依题意，且，

∵,即,

则有.

又∵为椭圆上的点，

可得，即，

即动点的轨迹的方程为.

（Ⅱ）依题意，设

∵为圆的直径，则有，故的斜率满足，

，

∵点不同于两点且直线的斜率存在，故且，

在和都是单调减函数，

的范围为，

故 .