Question

已知函数f（x）=sin²x+acosx+，a∈R．
（1）当a=1时，求函数f（x）的最大值；
（2）若x∈Z，当a∈R时，求函数f（x）的最大值．

Answer 1

【答案】分析：化简换元可得f（x）=-t²+at+-，（1）把a=1代入，研究函数的单调区间可得；（2）可得t∈[0，1]，函数对称轴为x=，分，0＜＜1，≥1，三类讨论可得．
解答：解：化简可得f（x）=-cos²x+acosx+-，
令t=cosx，所以f（x）=-t²+at+-，
（1）当a=1时，f（x）=-t²+t+=-，
因为x∈R，所以t∈[-1，1]，
关于t的二次函数开口向下，对称轴为t=，
故当t=时，函数取最大值，…（8分）
（2）因为x∈，所以t∈[0，1]，
由于函数对称轴为x=，
故当，即a≤0时，函数在x=0处，函数取最大值-，
当0＜＜1，即0＜a＜2时，函数在x=处，函数取最大值，
当≥1，即a≥2时，函数在x=1处，函数取最大值，
故f（x）_max=…（16分）
点评：本题考查二次函数在闭区间的最值，涉及分类讨论的思想，及换元法的应用，属中档题．