Question

1．已知函数f（x）=x²-ax+a²，h（x）=ax+2，定义函数g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x）（f（x）≥h（x））}\\{h（x）（f（x）＜h（x））}\end{array}\right.$．
（1）当a=1时，求g（x）的解析式；
（2）当|a-3|≤1+$\sqrt{2}$时，求函数g（x）在x∈[2，4]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）将a=1代入f（x），h（x），从而求出g（x）的表达式；（2）由x²-ax+a²=ax+2，得：x²-2ax+a²-2=0，求出x，结合a的范围，从而确定出g（2）是最小值即可．

解答 解：（1）a=1时：f（x）=x²-x+1，h（x）=x+2，
由f（x）-h（x）=x²-2x-1≥0，解得：x≥1+$\sqrt{2}$或x≤1-$\sqrt{2}$，
∴g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x）（f（x）≥h（x））}\\{h（x）（f（x）＜h（x））}\end{array}\right.$=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x+1，x∈（-∞，1-\sqrt{2]∪[1+\sqrt{2}}，+∞）}\\{x+2，x∈（1-\sqrt{2}，1+\sqrt{2}）}\end{array}\right.$；
（2∵|a-3|≤1+$\sqrt{2}$，∴2-$\sqrt{2}$≤a≤4+$\sqrt{2}$，
f（x）=${（x-\frac{a}{2}）}^{2}+{\frac{3}{4}a}^{2}$，
由x²-ax+a²=ax+2，得：x²-2ax+a²-2=0，
∴x=1±$\frac{\sqrt{2}}{a}$，而2-$\sqrt{a}$≤a≤4+$\sqrt{2}$，
∴$\frac{2\sqrt{2}-1}{7}$≤$\frac{\sqrt{2}}{a}$≤1$+\sqrt{2}$，
∴1+$\frac{\sqrt{2}}{a}$∈[$\frac{2\sqrt{2}+6}{7}$，2+$\sqrt{2}$]，
1-$\frac{\sqrt{2}}{a}$∈[-$\sqrt{2}$，$\frac{8-2\sqrt{2}}{7}$]，而2＞$\frac{8-2\sqrt{2}}{7}$，
∴g（x）在[2，4]上的最小值是g（2）=2a+2．

点评 本题考查了求函数的解析式问题，考查函数的最值问题，是一道中档题．