Question

8．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，动直线l：y=x+m．问：
（1）m为何值时，l与C相交；
（2）若l与C相交于A，B两点，且OA⊥OB，求l的方程．

Answer 1

分析 （1）联立方程组，利用的判别式能求出直线与椭圆相交时m的值．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由OA⊥OB，得x₁x₂+y₁y₂=0，由此能求出l的方程．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\\{y=x+m}\end{array}\right.$，消去y得3x²+4mx+2m²-2=0，
由△=（4m）²-4×3×（2m²-2）＞0，解得-$\sqrt{3}＜m＜\sqrt{3}$，
∴当-$\sqrt{3}＜m＜\sqrt{3}$时，直线与椭圆相交．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵OA⊥OB，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴x₁x₂+（x₁+m）（x₂+m）=0，
∴$2{x}_{1}{x}_{2}+m（{x}_{1}+{x}_{2}）+{m}^{2}=0$，（*）
由（1）可知$\left\{\begin{array}{l}{-\sqrt{3}＜m＜\sqrt{3}}\\{{x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{4m}{3}}\\{{x}_{1}{x}_{2}=\frac{2}{3}（{m}^{2}-1）}\end{array}\right.$，代入（*）式，得$m=±\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴l的方程为：y=x±$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查直线与椭圆相交时实数值的求法，考查直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理和椭圆性质的合理运用．