Question

13．已知函数$f（x）=1-\frac{3}{x+2}$，x∈[3，5]．
（1）利用定义证明函数f（x）单调递增；
（2）求函数f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）根据函数单调性的定义证明函数的单调性，注意取值、作差、变形和定符号和下结论；
（2）运用函数的单调性，从而求出函数的最值．

解答 解：（1）证明：令3≤x₁＜x₂≤5，
则f（x₁）-f（x₂）=1-$\frac{3}{{x}_{1}+2}$-（1-$\frac{3}{{x}_{2}+2}$）
=-3（$\frac{1}{{x}_{1}+2}$-$\frac{1}{{x}_{2}+2}$）=-3•$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{（{x}_{1}+2）（{x}_{2}+2）}$，
∵3≤x₁＜x₂≤5，∴x₂-x₁＞0，（x₁+2）（x₂+2）＞0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
故f（x）在[3，5]递增；
（2）由f（x）在[3，5]递增，
可得f（3）取得最小值1-$\frac{3}{5}$=$\frac{2}{5}$；
f（5）取得最大值1-$\frac{3}{7}$=$\frac{4}{7}$．

点评 本题考查了函数的单调性的定义，考查求函数的值域问题，是一道基础题．