题目内容

设
a
=(1，cos2θ)，
b
=(2，1)，
c
=(4sinθ，1)，
d
=(
1
2
sinθ，1)其中θ∈(0，
π
4
)．
（1）求
a
•
b
-
c
•
d
的取值范围；
（2）若f(x)=
x-1
，f(
a
•
b
)+f(
c
•
d
)=
6
2
+
2
2
，求cosθ-sinθ的值．
分析：利用向量的数量积的坐标表示求出
a
 •
b
- 
c
•
d
=cos2θ+2-2sin2θ +1①
（1）利用二倍角公式化简①，由已知θ∈(0，
π
4
)结合三角函数的图象可求取值范围．
（2）由已知整理可得cosθ+sinθ=
1+
3
2
?sin2θ=
3
2
，结合题中θ∈(0，
π
4
)可求θ，从而可得结果．
（法二）由θ∈(0，
π
4
)可得sinθ＞cosθ，要求cosθ-sinθ，可先求（cosθ-sinθ）2
解答：解：
a
•
b
=2+cos2θ  
c
•
d
=2sin2θ+1（2分）
（1）
a
•
b
-
c
•
d
=2+cos2θ-2sin2θ-1=cos2θ+1-2sin2θ=2cos2θ（4分）
∵θ∈(0，
π
4
)
∴2cos2θ∈（0，2）
即
a
•
b
-
c
•
d
的取值范围是（0，2）（7分）
（2）∵f(
a
•
b
)=
a
•
b
-1
=
1+cos2θ
=
2
|cosθ|=
2
cosθ
f(
c
•
d
)=
c
•
d
-1
=
2
|sinθ|=
2
sinθ（10分）
∴f(
a
•
b
)+f(
c
•
d
)=
2
(cosθ+sinθ)=
6
2
+
2
2

∴cosθ+sinθ=
3
2
+
1
2

∴(cosθ+sinθ)2=1+
3
2
=1+2sinθcosθ
∴sin2θ=
3
2

因为θ∈(0，
π
4
)所以2θ=
π
3
    θ=
π
6

故cosθ-sinθ=
3
2
-
1
2
（14分）
（注亦可：(cosθ-sinθ)2=1-2sinθcosθ=1-
3
2
=
4-2
3
4

cosθ-sinθ=±
3
-1
2
θ∈(0，
π
4
)
sinθ＜cosθ∴cosθ-sinθ=
3
2
-
1
2
）
点评：本题以平面向量数量积的坐标表示为载体，综合考查了向量数量积的运算，同角平方关系，二倍角公式，平面向量与三角函数的综合考查一直是进几年高考的重点内容之一，要重点掌握．
练习册系列答案
相关题目
设向量
a
=(1，cos2θ)，
b
=(2，1)，
c
=(4sinθ，1)，
d
=(
1
2
sinθ，1)，其中θ∈（0，
π
4
）．
（1）求
a
•
b
-
c
•
d
的取值范围；
（2）若函数f（x）=|x-1|，比较f（
a
•
b
）与f（
c
•
d
）的大小．
设向量
a
=(1，cos2θ)，
b
=(2，1)，
c
=(4sinθ，1)，
d
=(
1
2
sinθ，1)，其中θ∈（0，
π
4
）．
（1）求
a
•
b
-
c
•
d
的取值范围；
（2）若函数f（x）=|x-1|，比较f（
a
•
b
）与f（
c
•
d
）的大小．
设
a
=(1，cos2θ)，
b
=(2，1)，
c
=(4sinθ，1)，
d
=(
1
2
sinθ，1)其中θ∈(0，
π
4
)．
（1）求
a
•
b
-
c
•
d
的取值范围；
（2）若f(x)=
x-1
，f(
a
•
b
)+f(
c
•
d
)=
6
2
+
2
2
，求cosθ-sinθ的值．
设向量a=(1，cos2θ)，b=(2，1)，c=(4sinθ，1)，d=(sinθ，1)，其中θ∈(0，)．

(1)求a·b-c·d的取值范围；

(2)若函数f(x)=|x-1|，比较f(a·b)与f(c·d)的大小．

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