Question

设向量

a

=(1，cos2θ)，

b

=(2，1)，

c

=(4sinθ，1)，

d

=(

1

2

sinθ，1)，其中θ∈（0，

π

4

）．
（1）求

a

•

b

-

c

•

d

的取值范围；
（2）若函数f（x）=|x-1|，比较f（

a

•

b

）与f（

c

•

d

）的大小．

Answer 1

分析：（1）利用向量数量积的坐标运算将

a

•

b

-

c

•

d

表达为θ的三角函数，利用二倍角公式去平方，结合余弦函数的图象求范围即可．
（2）首先将f（

a

•

b

）与f（

c

•

d

）均表达为θ的函数，分别判断范围，再比较大小即可．

解答：解：（1）∵

a

•

b

=2+cos2θ，

c

•

d

=2sin²θ+1=2-cos2θ，
∴

a

•

b

-

c

•

d

=2cos2θ，
∵0＜θ＜

π

4

，∴0＜2θ＜

π

2

，∴0＜2cos2θ＜2，
∴

a

•

b

-

c

•

d

的取值范围是（0，2）．
（2）∵f（

a

•

b

）=|2+cos2θ-1|=|1+cos2θ|=2cos²θ，
f（

c

•

d

）=|2-|cos2θ-1=|1-cos2θ|=2cos²θ，
∴f（

a

•

b

）-f（

c

•

d

）=2（2cos²θ-2cos²θ）=2cos2θ，
∵0＜θ＜

π

4

，∴0＜2θ＜

π

2

，∴2cos2θ＞0，
∴f（

a

•

b

）＞f（

c

•

d

）

点评：本题考查向量的运算、三角变换及三角函数的性质等知识，熟练的利用三角函数公式进行化简变形时解决此类问题的关键．