Question

20．设A、B分别为椭圆（a,b＞0）的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且x=4为它的右准线。

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设P为右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线AP、BP分别与椭圆相交于异于A、B的点M、N，证明点B在以MN为直径的圆内。

（此题不要求画图）

Answer 1

20．本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力。

解：（Ⅰ）依题意得解得从而b=。

故椭圆方程为。

（Ⅱ）解法1：由（Ⅰ）得A（-2，0）B（2，0）。设M（

∵M点在椭圆上，∴                 ①

 又M点异于项点A，B，∴

由P、A、M三点共线可得P（4，），

从而

∴().        ②

将①式代入②式简化得  

∵2-x₀＞0，∴＞0，于是∠MBP为锐角，从而∠MBN为钝角，故点B在以MN为直径的圆内。

解法2：由（Ⅰ）得A（-2，0），B（2，0），设则直线AP的方程为直线BP的方程为

∵点M、N分别在直线AP、BP上，

∴从而         ③

联立消去y得（27+）

∵是方程的两根，∴（-2）·    ①

又

于是由③，④式代入⑤式化简可得

∵N点在椭圆上，且异于顶点A、B，∴

又∵∴＞0，从而＜0，故∠MBN为钝角，即点B在以MN为直径的圆内。

解法3：由（Ⅰ）得则又MN的中点Q的坐标为（