Question

设A，B分别为椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且直线x=4是它的右准线．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设P为椭圆右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线BP于椭圆相交于两点B，N，求证：∠NAP为锐角．

Answer 1

分析：（I）利用已知和a，b，c的关系即可得出；
（II）由（Ⅰ）得A（-2，0），B（2，0），设N（x₀，y₀），由于N点在椭圆上，可得

y

2 0

=

3

4

(4-

x

2 0

)，
又N点异于顶点A、B，得出-2＜x₀＜2，y₀≠0．由P、B、N三点共线可得点P的坐标，只要证明

AN

•

AP

＞0即可．

解答：解：（Ⅰ）依题意得

a=2c a2 c =4

，解得

a=2 c=1

，
从而b=

a2-c2

=

3

．
故椭圆的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得A（-2，0），B（2，0），设N（x₀，y₀），
∵N点在椭圆上，∴

y

2 0

=

3

4

(4-

x

2 0

)①
又N点异于顶点A、B，∴-2＜x₀＜2，y₀≠0
由P、B、N三点共线可得P(4，

2y0

x0-2

)，
从而

AN

=(x0+2，y0)，

AP

=(6，

2y0

x0-2

)．

AN

•

AP

=6x0+12+

2 y 2 0

x0-2

②

AN

•

AP

=6x0+12-

3

2

(2+x0)=

9

2

(x0+2)．
∵x₀+2＞0，y₀≠0，∴

AN

•

AP

＞0
于是∠NAP为锐角．

点评：熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、三点共线斜率相等、向量夹角为锐角与数量积的关系等是解题的关键．