Question

设A，B分别为椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a，b＞0)的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且x=4为它的右准线．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设P为右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线AP，BP分别与椭圆相交于异于A，B的点M、N，证明点B在以MN为直径的圆内．
（此题不要求在答题卡上画图）

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据题意可求得a和c的关系，进而根据准线方程求得a和c，则b可得，进而求得椭圆的方程．
（Ⅱ）根据（Ⅰ）中的椭圆方程可求得A，B的坐标，设出点M的坐标，代入椭圆方程，由P、A、M三点共线可以求得点P的坐标，进而表示出

BM

•

BP

根据2-x₀＞0判断出

BM

•

BP

＞0，进而可知∠MBP为锐角，从而∠MBN为钝角，判断出点B在以MN为直径的圆内．

解答：解：（Ⅰ）依题意得a=2c，

a2

c

=4，
解得a=2，c=1，从而b=

3

．
故椭圆的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得A（-2，0），B（2，0）．
设M（x₀，y₀）．
∵M点在椭圆上，
∴y₀²=

3

4

（4-x₀²）（1）
又点M异于顶点A、B，
∴-2＜x₀＜2，由P、A、M三点共线可以得
P（4，

6y0

x0+2

）．
从而

BM

=（x₀-2，y₀），

BP

=（2，

6y0

x0+2

）．
∴

BM

•

BP

=2x₀-4+

6y02

x0+2

=

2

x0+2

（x₀²-4+3y₀²）．（2）
将（1）代入（2），化简得

BM

•

BP

=

5

2

（2-x₀）．
∵2-x₀＞0，
∴

BM

•

BP

＞0，则∠MBP为锐角，从而∠MBN为钝角，
故点B在以MN为直径的圆内．

点评：本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力．