Question

（2009•孝感模拟）设A，B分别为椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且x=为它的右准线．
（1）求椭圆的方程；
（2）设P为椭圆上不同于A，的一个动点，直线PA，P与椭圆右准线相交于M，两点，证明：MN为直径的圆必过椭圆外的一个定点．

Answer 1

分析：（1）根据题意：“椭圆长半轴的长等于焦距，且x=4为它的右准线”可求得a和c的关系，进而根据准线方程求得a和c，则b可得，进而求得椭圆的方程．
（2）根据（1）中的椭圆方程可求得A，B的坐标，利用参数设出点P的坐标，由A、P、M三点共线或B、P、N三点共线可以求得点M，N的坐标，进而表示出 以MN为直径的圆的方程，从而得出以MN为直径的圆必过椭圆外的一个定点．

解答：解：（1）由题意，知a=2c，

a2

c

=4，解得a=2，c=1，∴b=

3

，故椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1 …（5分）
（2）设P（2cosθ，

3

sinθ），M（4，m），N（4，n），则A（-2，0），B（2，0），
由A、P、M三点共线，得m=

3 3 sinθ

1+cosθ

     …（7分）
由B、P、N三点共线，得n=

3 sinθ

cosθ-1

，…（9分）
以MN为直径的圆的方程为（x-4）（x-4）+（y-

3 3 sinθ

1+cosθ

）（y-

3 sinθ

cosθ-1

）=0，
整理得：（x-4）²+y²-（

3 3 sinθ

1+cosθ

+

3 sinθ

cosθ-1

）y-9=0      …（12分）
解

(x-4)2+y2-9=0 y=0

得

x=1 y=0

（舍去）或

x=7 y=0

∴MN为直径的圆必过椭圆外的一个定点（7，0），命题成立．…（13分）
【由对称性先猜出在x轴上存在符合要求的定点，再求出该点，结果正确的，给（13分）．】

点评：本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力．