Question

已知函数f（x）＝（x2＋a）的图象在点Pn（n，f（n））（n∈N*）处的切线ln的斜率为kn，直线ln交x轴，y轴分别于点An（xn，0），Bn（0，yn），且y1＝－1．给出以下结论：

①a＝－1；

②记函数g（n）＝xn（n∈N*），则函数g（n）的单调性是先减后增，且最小值为；

③当n∈N*时，；

④当n∈N*时，记数列的前项和为，则．

其中，正确的结论有 （写出所有正确结论的序号）

Answer 1

①③④

【解析】由已知，f '（x）＝x，于是kn＝n，且f（n）＝（n2＋a），

所以ln：y－（n2＋a）＝n（x－n）

①在ln中，令n＝1，x＝0，y＝－1，得a＝－1，故①正确；

且有ln：y－（n2－1）＝n（x－n）

②在ln中，令y＝0，得xn＝－（n－）＋n＝（n＋）

n∈N*时，该函数为增函数，没有递减部分，故②错误；

③在ln中，令x＝0，得yn＝－n2＋（n2－1）＝－（n2＋1）

∴yn＋kn＋＝－n2＋n

当n＝1时，y1＋k1＋＝＝ln＜ln2＝ln（1＋1）＝ln（1＋k1）

当n≥2时，yn＋kn＋＝－n2＋n≤0，而ln（1＋kn）＝ln（1＋n）＞ln1＝0，故③正确

，

∴Sn＜

当n＞1时，

∴Sn＜

＝，故④正确.

考点：函数、导数、数列、不等式等综合应用