Question

已知f（x）=为定义在R上的奇函数，且f（1）=
（1）求f（x）的解析式；
（2）判断并证明y=f（x）在（-1，0）上的单调性．

Answer 1

解：（1）因为f（x）=为定义在R上的奇函数，且f（1）=，
所以，即，解得：．
所以，f（x）=．
（2）在（-1，0）上为单调增函数．
证明：任取x₁，x₂∈（-1，0）且x₁＜x₂
则
=
=．
因为x₁，x₂∈（-1，0）且x₁＜x₂，
所以1-x₁x₂＞0，x₁-x₂＜0．
所以，．
即f（x₁）＜f（x₂）．
所以，函数y=f（x）在（-1，0）上的单调递增．
分析：（1）函数是定义在实数集上的奇函数，由f（0）=0，f（1）=联立方程组可求a和b的值，则函数解析式可求；
（2）直接运用函数单调性的定义证明函数y=f（x）在（-1，0）上的单调性．
点评：本题考查了用赋值法求函数的解析式，考查了函数的单调性，利用函数的单调性定义证明函数的单调性时，步骤是首先在给定的区间内任取两个自变量的值x₁，x₂，并且规定大小，然后把它们对应的函数值作差，目的是判断差式的符号，从而得到f（x₁）和f（x₂）的大小，最后根据定义得结论，此题是中档题．