Question

已知f（x）是定义在R上，且周期为2的偶函数，当0≤x≤1时，f（x）=x²．若直线y=x+a与曲线y=f（x）恰有两个公共点，那么实数a的值为（　　）（k∈z）

• A．k
• B．2k
• C．2k或2k-

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• D．k或k-

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Answer 1

分析：利用函数是周期为2的偶函数，作出函数y=f（x）的图象，利用直线y=x+a与曲线y=f（x）恰有两个公共点，利用数形结合的思想求a的值．

解答：解：因为f（x）是定义在R上且周期为2的偶函数，所以当-1≤x≤1时，f（x）=x²．
①由图象可知当直线y=x+a经过点O（0，0）时，直线y=x+a与y=f（x）恰有两个公共点，此时a=0，由于函数f（x）是周期为2的函数，所以当a=2k时，直线y=x+a与曲线y=f（x）恰有两个公共点．
②由图象可知直线y=x+a与f（x）=x²相切时，直线y=x+a与曲线y=f（x）也恰有两个公共点．
f'（x）=2x，由f'（x）=2x=1，解得x=

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2

，所以y=

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，即切点为（

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2

，

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），代入直线y=x+a得a=-

1

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．
由于函数f（x）是周期为2的函数，所以当a=2k-

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时，直线y=x+a与曲线y=f（x）恰有两个公共点．
综上满足条件的实数a的值为a=2k或a=2k-

1

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．
故选C．

点评：本题考查了两个曲线的交点问题，要充分利用函数的周期性，利用数形结合的思想去解决，综合性较强．