Question

已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意实数a，b∈R满足：f(a•b)=af(b)+bf(a)，f(2)=2，an=

f(2n)

n

(n∈N*)，bn=

f(2n)

2n

(n∈N*)
考察下列结论：①f（0）=f（1）；②数列{a_n}为等比例数列；③数列{b_n}为等差数列．
其中正确的结论是（　　）

• A、①②③
• B、①③
• C、①②
• D、②③

Answer 1

分析：给a、b赋值，使它们都等于0，再使它们都等于1，得到结论①正确，把第三个条件两边同乘n化为整式形式，用第一个式子逐渐展开，得到等比数列，通过第二步整理，可得第三个结论正确．

解答：解：∵取a=b=0，可得f（0）=0，
取a=b=1，可得f（1）=0，
∴f（0）=f（1），
即①正确，
∵f（ab）=af（b）+bf（a），
∴f（2ⁿ）=f（2•2^n-1）
=2f（2^n-1）+2^n-1f（2）
=2f（2^n-1）+2ⁿ
=…
=n•2ⁿ，
∴a_n=2ⁿ，b_n=n
∴①②③都正确，
故选A

点评：这种题做起来易出错，使学生系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律，深化数学思想方法在解题实践中的指导作用，灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题