Question

【题目】在直三棱柱中，，，，点是的中点．

（1）求异面直线，所成角的余弦值；

（2）求直线与平面所成角的正弦值；

（3）求异面直线与的距离．

Answer 1

【答案】（1）．（2）．（3）

【解析】

根据已知条件以，，为，，轴建立按直角坐标系，写出相关点的坐标，(1)由各个点的坐标写出相应向量，，代入向量夹角公式，即可求出异面直线，所成角的余弦值；

(2)先设平面的法向量为并求出法向量为，再利用直线与平面所成角为的正弦值即可求出；

(3) 连接交于点，连接，可得，即平面，所以异面直线与的距离可转化为点到平面的距离，根据点到平面的距离公式即可求出距离.

解：以，，为，，轴建立按直角坐标系，

则各点的坐标为，，，．如图：

（1）所以，，

所以．

故异面直线和所成角的余弦值为．

（2），，设平面的法向量为．

则即，取，得．

设直线与平面所成角为，则．

所以直线与平面所成角的正弦值为．

（3）连接交于点，连接，易得，

所以平面，故点到平面的距离即为所求异面直线距离．

记点到平面的距离为，则．

所以异面直线与的距离为．