Question

（本题满分16分）
已知函数.
（1）求函数在点处的切线方程；
（2）若在区间上恒成立，求的取值范围；
（3）当时，求证：在区间上，满足恒成立的函数有无穷多个.

Answer 1

(1)因为  ，
所以在点处的切线的斜率为，……2分
所以在点处的切线方程为， 4分
(2) 令<0，对恒成立，
因为 （*）
………………………………………………………………6分
①当时，有，即时，在（，+∞）上有，
此时在区间（，+∞）上是增函数，
并且在该区间上有∈，不合题意；
②当时，有，同理可知，在区间上，有∈，
也不合题意；                  …………………………………………… 8分                              
③当时，有，此时在区间上恒有，
从而在区间上是减函数；
要使在此区间上恒成立，只须满足，
所以．                   ………………………………………11分
综上可知的范围是．         ………………………………………12分
(3)当时，
记．
因为，所以在上为增函数，
所以，             ………………………………14分
设, 则,所以在区间上，
满足恒成立的函数有无穷多个．     …………………16分

略