Question

已知椭圆C：的左焦点为F（-1，0），离心率为，过点F的直线l与椭圆C交于A、B两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设过点F不与坐标轴垂直的直线交椭圆C于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由题意可知：c=1，a²=b²-c²，e=，由此能够求出椭圆的方程．
（II）设直线AB的方程为y=k（x+1）（k≠0），由，得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0．由直线AB过椭圆的左焦点F，记A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中点N（x，y），x₁+x₂=，x=，垂直平分线NG的方程为y-y=-，由此能求出点G横坐标的取值范围．
解答：解：（Ⅰ）由题意可知：c=1，a²=b²-c²，e=…（2分）
解得：a=，b=1（3分）
故椭圆的方程为：=1（4分）
（II）设直线AB的方程为y=k（x+1）（k≠0），（5分）
联立，得，
整理得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0（7分）
∵直线AB过椭圆的左焦点F∴方程有两个不等实根．（8分）
记A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中点N（x，y）
则x₁+x₂=（9分）
x=（10分）
垂直平分线NG的方程为y-y=-，（11分）
令y=0，得x_G=x+ky=-
=-．（12分）
∵k≠0，∴-＜0（13分）
∴点G横坐标的取值范围为（-，0）．（14分）
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，综合性强，是高考的重点，易错点是知识体系不牢固．本题具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．