Question

5．已知实数列{a_n}满足|a₁|=1，|a_n+1|=q|a_n|，n∈N₊，常数q＞1．对任意的n∈N₊，有$\sum_{k=1}^{n+1}{|{a_k}|}≤4|{a_n}|$．设C为所有满足上述条件的数列{a_n}的集合．
（1）求q的值；
（2）设{a_n}，{b_n}∈C，m∈N₊，且存在n₀≤m，使${a_{n_0}}≠{b_{n_0}}$．证明：$\sum_{k=1}^m{|{a_k}|}≠\sum_{k=1}^m{|{b_k}|}$；
（3）设集合${A_m}=\left\{{\sum_{k=1}^m{a_k}\left|{\left\{{a_n}\right\}∈C}\right.}\right\}$，m∈N₊，求A_m中所有正数之和．

Answer 1

分析 （1）运用等比数列求和公式运算；
（2）运用绝对值不等式的性质证明；
（3）根据条件可得{a_n}为：±1，±2，±4，…，±2^m-2，2^m-1．

解答 （1）因为，|a_n+1|=q|a_n|，所以，数列{|a_n|}是一个公比为q的等比数列，
所以，由$\sum_{k=1}^{n+1}{|{a_k}|}≤4|{a_n}|$得化简$\frac{{1-{q^{n+1}}}}{1-q}≤4{q^{n-1}}$，
化简得，$\frac{1}{{{q^{n-1}}}}≥{（{q-2}）^2}$对任意正整数n都成立，
左边在n无穷大时是无穷小，所以，q=2；
（2）假设l是1，2，3，…，m中满足a_n≠b_n中的最大角标，
则$|{\sum_{k=1}^m{a_k}-\sum_{k=1}^m{b_k}}|=|{\sum_{k=1}^l{a_k}-\sum_{k=1}^l{b_k}}|=|{{a_l}-{b_l}}|-|{\sum_{k=1}^{l-1}{a_k}-\sum_{k=1}^{l-1}{b_k}}|≥{2^l}-\sum_{k=1}^{l-1}{2^k}=2$，
所以，$\sum_{k=1}^m{|{a_k}|}≠\sum_{k=1}^m{|{b_k}|}$；
（3）显然{a_n}的前m项和是正数，当且仅当a_m＞0，
此时a_i（i=1，2，…，m-1）的符号随意，
即{a_n}：±1，±2，±4，…，±2^m-2，2^m-1，
这样的数列共有2^m-1个，
若a_i与b_i符号相反，则进行配对（i=1，2，…，m-1），
于是，A_m中所有元素之和为2^m-1•2^m-1=2^2m-2．

点评 本题主要考查了等比数列的求和，数列不等式的证明，以及绝对值不等式的性质，属于难题．