Question

17．设3≤a≤b≤c≤d≤e≤5，则F=（a+b+c+d+e）（$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}+\frac{1}{e}$）的最小值为25．

Answer 1

分析 展开并整理可得F=5+（$\frac{a}{b}$+$\frac{b}{a}$）+（$\frac{a}{c}$+$\frac{c}{a}$）+（$\frac{a}{d}$+$\frac{d}{a}$）+（$\frac{a}{e}$+$\frac{e}{a}$）+（$\frac{b}{c}$+$\frac{c}{b}$）+（$\frac{b}{d}$+$\frac{d}{b}$）+（$\frac{b}{e}$+$\frac{e}{b}$）+（$\frac{c}{d}$+$\frac{d}{c}$）+（$\frac{c}{e}$+$\frac{e}{c}$）+（$\frac{d}{e}$+$\frac{e}{d}$），由基本不等式可得．

解答 解：展开可得F=（a+b+c+d+e）（$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}+\frac{1}{e}$）
=1+$\frac{a}{b}$+$\frac{a}{c}$+$\frac{a}{d}$+$\frac{a}{e}$+1+$\frac{b}{a}$+$\frac{b}{c}$+$\frac{b}{d}$+$\frac{b}{e}$+1+$\frac{c}{a}$+$\frac{c}{b}$+$\frac{c}{d}$+$\frac{c}{e}$+1+$\frac{d}{a}$+$\frac{d}{b}$+$\frac{d}{c}$+$\frac{d}{e}$+1+$\frac{e}{a}$+$\frac{e}{b}$+$\frac{e}{c}$+$\frac{e}{d}$
=5+（$\frac{a}{b}$+$\frac{b}{a}$）+（$\frac{a}{c}$+$\frac{c}{a}$）+（$\frac{a}{d}$+$\frac{d}{a}$）+（$\frac{a}{e}$+$\frac{e}{a}$）+（$\frac{b}{c}$+$\frac{c}{b}$）+（$\frac{b}{d}$+$\frac{d}{b}$）+（$\frac{b}{e}$+$\frac{e}{b}$）+（$\frac{c}{d}$+$\frac{d}{c}$）+（$\frac{c}{e}$+$\frac{e}{c}$）+（$\frac{d}{e}$+$\frac{e}{d}$）
≥5+2×10=25
当且仅当a=b=c=d=e时取等号，
∴F的最小值为25
故答案为：25

点评 本题考查基本不等式求最值，属基础题．