Question

15．已知函数f（x）=a^x-b（a＞0且a≠1）．
（1）若f（x）的图象过点（2，2）和（4，14），求f（a-b）；
（2）若f（x）的图象经过第二、三、四象限，求a^b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据f（x）的图象过点（2，2）和（4，14），可得：$\left\{\begin{array}{l}{a}^{2}-b=2\\{a}^{4}-b=14\end{array}\right.$，解得a，b代入计算可得答案；
（2）若f（x）的图象经过第二、三、四象限，则$\left\{\begin{array}{l}0＜a＜1\\ b＞1\end{array}\right.$，结合指数函数的图象和性质，可得答案．

解答 解：（1）∵函数f（x）=a^x-b（a＞0且a≠1），
f（x）的图象过点（2，2）和（4，14），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a}^{2}-b=2\\{a}^{4}-b=14\end{array}\right.$，
解得：a=2，b=2，
故f（x）=2^x-2，
∴f（a-b）=f（0）=1-2=-1；
（2）若f（x）的图象经过第二、三、四象限，
则$\left\{\begin{array}{l}0＜a＜1\\ b＞1\end{array}\right.$，
故0＜a^b＜a＜1，
即a^b的取值范围为（0，1）

点评 本题考查的知识点是指数函数的图象和性质，待定系数法求函数的解析式，函数图象的平移变换，难度中档．