Question

11．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1上一点到两焦点F₁，F₂的距离之积是m，则m取最大值时，点P的坐标为（　　）

• A． （$\frac{5}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）或（$\frac{5}{2}$，-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）
• B． （5，0）或（-5，0）
• C． （$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$）或（-$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{3}{2}$）
• D． （0，3）或（0，-3）

Answer 1

分析 根据椭圆的方程，得|PF₁|+|PF₂|=2a=10，结合基本不等式可知：当且仅当|PF₁|=|PF₂|=5时，点P到两焦点的距离之积为m有最大值25，并且此时点P位于椭圆短轴的顶点处，可得点P坐标为（0，3）或（0，-3）．

解答 解：∵椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，
∴椭圆的a=5，b=3，
设椭圆的左、右焦点分别为F₁、F₂，得|PF₁|+|PF₂|=2a=10，
∵|PF₁|+|PF₂|≥2$\sqrt{|P{F}_{1}|•|P{F}_{2}|}$，
∴点P到两焦点的距离之积m满足：m=|PF₁|×|PF₂|≤（$\frac{|P{F}_{1}|+|P{F}_{2}|}{2}$）²=25，
当且仅当|PF₁|=|PF₂|=5时，m有最大值25，
此时，点P位于椭圆短轴的顶点处，得P（0，3）或（0，-3）．
故选：D．

点评 本题给出椭圆的方程，求其上一点到两个焦点距离之积的最大值，着重考查了椭圆的简单几何性质和基本不等式求最值等知识，属于中档题．