Question

已知点是抛物线上一点，为抛物线的焦点，准线与轴交于点，已知＝，三角形的面积等于8．

（1）求的值；

（2）过该抛物线的焦点作两条互相垂直的直线，，与抛物线相交得两条弦，两条弦的中点分别为.求的最小值．

 

Answer 1

【答案】

(1) (2)

【解析】

试题分析：（1）设，因为抛物线的焦点，

则                                                   ……1分

，       ……2分

，而点在抛物线上，

                                 ……4分

又

故所求抛物线的方程为.                                           ……6分

（2）由，得，显然直线，的斜率都存在且都不为0.

设的方程为，则的方程为.

由 得，同理可得.              ……8分

则

=.（当且仅当时取等号）

所以的最小值是.                                                ……14分

考点：本小题主要考查抛物线标准方程的求解、直线与圆锥曲线的位置关系和利用基本不等式求最值，考查学生分析问题、解决问题的能力和运算求解能力.

点评：设直线方程时，要考虑直线的斜率是否存在；利用基本不等式求最值时，要注意一正二定三相等三个条件缺一不可.