Question

【题目】如图，半径为2的半圆有一内接梯形ABCD，它的下底AB是⊙O的直径，上底CD的端点在圆周上．若双曲线以A、B为焦点，且过C、D两点，则当梯形ABCD的周长最大时，双曲线的实轴长为 ．

Answer 1

【答案】2 ﹣2
【解析】解：设∠BAC=θ，作CE⊥AB于点E，
则BC=2Rsinθ，EB=BCcos（90°﹣θ）=2Rsin2θ，
有CD=2R﹣4Rsin2θ，
梯形ABCD的周长l=AB+2BC+CD=2R+4Rsinθ+2R﹣4Rsin2θ
=8+8sinθ﹣8sin2θ=﹣8（sinθ﹣ ）2+10，
当sinθ= ，即θ=30°时，l有最大值10，
即有BC=2，AC=2 ，a= （AC﹣BC）= ，
可得双曲线的实轴长为2a=2 ﹣2．
所以答案是：2 ﹣2．