Question

【题目】已知函数 （0＜x＜π），g（x）=（x﹣1）lnx+m（m∈R）
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求证：1是g（x）的唯一极小值点；
（Ⅲ）若存在a，b∈（0，π），满足f（a）=g（b），求m的取值范围．（只需写出结论）

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）因为 = ，

令f'（x）=0，得

因为0＜x＜π，所以

当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下：

x
f'（x）	+	0	﹣
f（x）	↗	极大值	↘

故f（x）的单调递增区间为 ，f（x）的单调递减区间为

（Ⅱ）证明：∵g（x）=（x﹣1）lnx+m∴ （x＞0），

设 ，则

故g'（x）在（0，+∞）是单调递增函数，

又∵g'（1）=0，故方程g'（x）=0只有唯一实根x=1

当x变化时，g'（x），g（x）的变化情况如下：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
g'（x）	﹣	0	+
g（x）	↘	极小值	↗

故g（x）在x=1时取得极小值g（1）=m，即1是g（x）的唯一极小值点．

（Ⅲ）

【解析】（Ⅰ）根据f（x）0时f（x）单调递增，f（x）0时f（x）单调递减可求出f（x）的单调区间；（Ⅱ）构造函数h（x）=g（x），导论h（x）的单调性并求出h（x）的零点；（Ⅲ）使g（x）minf（x）max即可.
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减，以及对函数的极值与导数的理解，了解求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值．