Question

（本题满分12分）
在直角坐标系中，点到两点，的距离之和等于，设点的轨迹为。
（1）求曲线的方程；
（2）过点作两条互相垂直的直线分别与曲线交于和。
①以线段为直径的圆过能否过坐标原点，若能求出此时的值，若不能说明理由；
②求四边形面积的取值范围。

Answer 1

（1）（2）①②

试题分析：（1）设，
由椭圆定义可知，点的轨迹是以为焦点，长半轴为的椭圆．
它的短半轴，
故曲线C的方程为．                                     ……4分
（2）①设直线,，
其坐标满足
消去并整理得，
故．                             ……6分
以线段为直径的圆过能否过坐标原点，则，即．
而，
于是，
化简得，所以．                             ……8分
②由①，，
将上式中的换为得，
由于,
故四边形的面积为，       ……10分
令，则，
而，故，故，
当直线或的斜率有一个不存在时，另一个斜率为，
不难验证此时四边形的面积为，
故四边形面积的取值范围是．                             ……12分
点评：线段为直径的圆过坐标原点转化为是解题的关键，弦长公式是解题时经常用到的公式，要熟练掌握，而且探究性问题在高考中经常考到，先假设存在，再求解即可.