Question

（12分）已知椭圆C：以双曲线的焦点为顶点，其离心率与双曲线的离心率互为倒数．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若椭圆C的左、右顶点分别为点A，B，点M是椭圆C上异于A，B的任意一点．
①求证：直线MA，MB的斜率之积为定值；
②若直线MA，MB与直线x＝4分别交于点P，Q，求线段PQ长度的最小值．

Answer 1

（1）（2）①证明见解析②

试题分析：(1)易知双曲线的焦点为(－2,0)，(2,0)，离心率为，……2分
则在椭圆C中a＝2，e＝，
故在椭圆C中c＝，b＝1，所以椭圆C的方程为               ……4分
(2)①设M(x₀，y₀)(x₀≠±2)，由题易知A(－2,0)，B(2,0)，
则k_MA＝，k_MB＝，故k_MA·k_MB＝＝，        ……6分
点M在椭圆C上，则，即，
故k_MA·k_MB＝，即直线MA，MB的斜率之积为定值。                      ……8分
②解法一：设P(4，y₁)，Q(4，y₂)，则k_MA＝k_PA＝，k_MB＝k_BQ＝，……9分
由①得，即y₁y₂＝－3，当y₁>0，y₂<0时，|PQ|＝|y₁－y₂|≥2 ＝，当且仅当y₁＝，y₂＝－时等号成立．……11分
同理，当y₁<0，y₂>0时，当且仅当，y₂＝时，|PQ|有最小值. ……12分
解法二：设直线MA的斜率为k，则直线MA的方程为y＝k(x＋2)，从而P(4,6k) ……9分
由①知直线MB的斜率为，则直线MB的方程为y＝(x－2)，
故得，故，当且仅当时等号成立，
即|PQ|有最小值.                                                  ……12分
点评：直线与圆锥曲线位置关系的题目是每年高考必考的题目，且一般都以压轴题的形式出现，所以难度较大，关键是运算量比较大，要尽量应用数形结合简化运算，还要细心求解.