Question

11．已知在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1-2a_n•a_n+1-a_n=0，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 讨论可知a_n≠0，从而化简可得$\frac{1}{{a}_{n}}$-2-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=0，从而判断出{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1为首项，-2为公差的等差数列，再求a_n．

解答 解：∵a_n+1-2a_n•a_n+1-a_n=0，
∴a_n+1（1-2a_n）=a_n，
又∵a₁=1≠0，∴a_n≠0，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$-2-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=0，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=-2，
∴{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1为首项，-2为公差的等差数列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1-2（n-1）=3-2n，
故a_n=$\frac{1}{3-2n}$．

点评 本题考查了构造法求解数列的通项公式的应用及转化思想的应用．