Question

（12分）如图已知直角梯形所在的平面垂直于平面，，， ．

（I）在直线上是否存在一点，使得平面？请证明你的结论；

(II)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值。

 

 

Answer 1

【答案】

（I）见解析；（2）． 

【解析】（1）先确定线段的中点就是满足条件的点．再取的中点，证明四边形为矩形，四边形是平行四边形．由线面平行的判定定理证出结论；

（2）可以根据二面角的定义找出二面角的平面角求解，关键是找到二面角的棱，由平面平面，平面，。∴是所求二面角的平面角．在三角形中求解；也可以建立坐标系利用法向量求解。

（I）线段的中点就是满足条件的点．

证明如下：

取的中点连结，则

，，     …………………2分

取的中点，连结，

∵且，

∴△是正三角形，∴．

∴四边形为矩形，∴．又∵，………3分

∴且，四边形是平行四边形．…………4分

∴，而平面，平面，∴平面．……6分

（2）（法1）过作的平行线，过作的垂线交于，连结，∵，∴， 是平面与平面所成二面角的棱．……8分

∵平面平面，，∴平面，

又∵平面，∴平面，∴，

∴是所求二面角的平面角．………………10分

设，则，，

∴，

∴．  ………12分

（法2）∵，平面平面，

∴以点为原点，直线为轴，直线为轴，建立空间直角坐标系，则轴在平面内（如图）．设，由已知，得，，．

∴，，…………………8分

设平面的法向量为，

则且，

∴∴解之得

取，得平面的一个法向量为.          ………10分

又∵平面的一个法向量为． ……11分

．………12分