Question

已知A、B是曲线x2-a

x

+y=0（1≤x≤4）上不同的两点．若直线AB的斜率k总满足1≤k≤16，则实数a的值是

 

．

Answer 1

分析：把曲线方程变形，求出曲线方程的导函数，由斜率k的范围得到导函数的值范围，进而表示出a的范围，得到a的范围在1≤x≤4上恒成立，把x=1和x=4分别代入不等式，即可求出实数a的值．

解答：解：曲线x2-a

x

+y=0变形得：y=-x²+a

x

，
∴y′=-2x+

a

2 x

，又1≤k≤16
∴1≤y′≤16，即1≤-2x+

a

2 x

≤16，
∴2

x

（2x+1）≤a≤2

x

（2x+16）在1≤x≤4恒成立，
∴把x=1代入不等式得：6≤a≤36；
把x=4代入不等式得：36≤x≤40，
∴a=36，
则实数a的值是36．
故答案为：36．

点评：本题主要考查导数的运算和导数的几何意义，以及函数恒成立时满足的条件，考查了转化的思想，属中档题．