Question

1．求y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（-x²-2x+3）的定义域、值域及单调区间．

Answer 1

分析 根据真数为正，确定函数的定义域，再根据真数的范围，确定函数值域，最后根据复合函数单调性的判断规则，确定函数的单调性．

解答 解：先确定函数的定义域，令-x²-2x+3＞0，
解得，-3＜x＜1，即函数f（x）的定义域为（-3，1），
又因为u（x）=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
当x=-1时，真数u（x）取得最大值4，此时f（x）_min=f（-1）=-2，
所以，f（x）的值域为[-2，+∞），
而且u（x）在（-3，-1）上单调递增，在（-1，1）上单调递减，
所以，f（x）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}（-x^2-2x+3）$在（-3，-1）上单调递减，在（-1，1）上单调递增，
因此，函数y=$lo{g}_{\frac{1}{2}}（-x^2-2x+3）$的定义域，值域，单调区间分别为：
定义域为（-3，1），值域为[-2，+∞），
单调增区间为（-1，1），单调减区间为（-3，-1）．
说明：单调区间在x=-1可取，即增区间可写成[-1，1），减区间可写成（-3，-1]．

点评 本题主要考查了对数型复合函数的定义域，值域，单调性和单调区间，涉及二次函数的图象和性质，属于中档题．