题目内容

设函数f（x）是定义在R上的函数，且f（x+2）[1-f（x）]=1+f（x），又 $数学公式$ ，则f（2012）等于

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

C
分析：根据题中对应法则，算出f（4）的值，再通过函数迭代证出函数f（x）是周期为8的函数，由此可得f（2012）=f（4），得到本题的答案．
解答：令x=2，得f（4）[1-f（2）]=1+f（2），
∴f（4）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =1-2 $\text{[math]}$
∵f（x+2）[1-f（x）]=1+f（x），
∴f（x+2）= $\text{[math]}$
由此可得f（x+4）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$
∴f（x+8）=- $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ =f（x）
所以函数f（x）是定义在R上周期为8的函数，可得f（2012）=f（8×251+4）=f（4）=1-2 $\text{[math]}$
故选C
点评：本题给出函数对应法则，并且在已知f（2）的情况下求f（2012）．着重考查了函数的对应法则、周期和函数迭代等知识，属于中档题．

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