Question

设函数f（x）是定义在（-∞，+∞）上的增函数，如果不等式f（1-ax-x²）＜f（2-a）对于任意x∈[0，1]恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：由f（x）递增知，f（1-ax-x²）＜f（2-a）对于任意x∈[0，1]恒成立?1-ax-x²＜2-a对于任意x∈[0，1]恒成立?x²+ax+1-a＞0对于任意x∈[0，1]恒成立，令g（x）=x²+ax+1-a，x∈[0，1]，所以原问题?g（x）_min＞0，根据二次函数性质可求得最小值．

解答：解：∵f（x）是（-∞，+∞）上的增函数，
∴f（1-ax-x²）＜f（2-a）对于任意x∈[0，1]恒成立?1-ax-x²＜2-a对于任意x∈[0，1]恒成立?x²+ax+1-a＞0对于任意x∈[0，1]恒成立，
令g（x）=x²+ax+1-a，x∈[0，1]，所以原问题?g（x）_min＞0，
g（x）图象的对称轴方程为x=-

a

2

，
当-

a

2

＜0即a＞0时，g（x）在[0，1]上递增，所以g（x）_min=g（0）=1-a；
当0≤-

a

2

≤1即-2≤a≤0时，g（x）_min=g（-

a

2

）=-

a2

4

-a+1；
当-

a

2

＞1即a＜-2时，g（x）在[0，1]上递减，g（x）_min=g（1）=2；

所以g(x)min=

1-a，a＞0 - a2 4 -a+1，-2≤a≤0 2，a＜-2

，
由g（x）_min＞0，解得0＜a＜1．
所以实数a的范围0＜a＜1．

点评：本题考查函数单调性的性质，考查抽象不等式的求解，解决本题的关键是利用函数单调性去掉不等式中的符号“f”．