题目内容
设函数f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，并且满足f(xy)=f(x)+f(y)，f(
)=1
（1）求f(
)；
（2）若f（x）+f（2-x）＜2，求x的取值范围．
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（1）求f(
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（2）若f（x）+f（2-x）＜2，求x的取值范围．
分析：（1）对题设条件中的恒等式进行赋值，即可求出f（
）的值；
（2）利用题设条件将f（x）+f（2-x）＜2这为f[x（2-x）]＜f（
），再利用函数f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数解不等式
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（2）利用题设条件将f（x）+f（2-x）＜2这为f[x（2-x）]＜f（
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解答：解：（1）由已知，令x=y=
，则f（
）=f（
）+f（
）=2．
（2）∵f（x）+f（2-x）=f[x（2-x）]＜2=f（
），
又由函数f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数：得
解之得：x∈(1-
，1+
)．
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（2）∵f（x）+f（2-x）=f[x（2-x）]＜2=f（
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又由函数f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数：得
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2
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2
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点评：本题考查抽象函数及其应用，考查了根据恒等式的形式以及要求的值灵活赋值求函数值的能力，以及利用函数的性质解不等式的能力，求解本题的关键是恰当赋值，求解第二问时恰当的变形是解题的关键，在根据单调性转化时要注意转化的等价，不要忘记定义域的限制条件．
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