Question

设函数f（x）是定义在R上的偶函数．若当x≥0时，f(x)=

|1- 1 x 0

x＞0；， x=0.

（1）求f（x）在（-∞，0）上的解析式．
（2）请你作出函数f（x）的大致图象．
（3）当0＜a＜b时，若f（a）=f（b），求ab的取值范围．
（4）若关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有7个不同实数解，求b，c满足的条件．

Answer 1

分析：（1）设x∈（-∞，0）则-x∈（0，+∞），代入大于零的解析式，然后根据偶函数的性质即可求出f（x）在（-∞，0）上的解析式；
（2）利用分段函数的特点，分别在坐标系下画出函数的图象；
（3）因为0＜a＜b，所以f（a）=f（b）建立等式关系，然后利用基本不等式即可求出ab的范围；
（4）根据图象可知对于方程f（x）=a，当a=0时，方程有3个根；当0＜a＜1时，方程有4个根，当a≥1时，方程有2个根；当a＜0时，方程无解，则要使关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有7个不同实数解，关于f（x）的方程f²（x）+bf（x）+c=0有一个在区间（0，1）的正实数根和一个等于零的根，即可求出b、c满足的条件．

解答：解：（1）当x∈（-∞，0）时，f(x)=f(-x)=|1-

1

-x

|=|1+

1

x

|．…（4分）
（2）f（x）的大致图象如下：．
…（8分）
（3）因为0＜a＜b，所以f（a）=f（b）?|1-

1

a

|=|1-

1

b

|?(1-

1

a

)2=(1-

1

b

)2?

1

a

+

1

b

=2，…（11分）?a+b=2ab＞2

ab

解得ab的取值范围是（1，+∞）．…（13分）
（4）由（2），对于方程f（x）=a，当a=0时，方程有3个根；当0＜a＜1时，方程有4个根，当a≥1时，方程有2个根；当a＜0时，方程无解．…（15分）
所以，要使关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有7个不同实数解，关于f（x）的方程f²（x）+bf（x）+c=0有一个在区间（0，1）的正实数根和一个等于零的根．
所以c=0，f（x）=-b∈（0，1），即-1＜b＜0，c=0．…（18分）

点评：本题主要考查了函数的奇偶性，以及函数解析式和函数图象，同时考查了根的存在性及根的个数判断，属于中档题．