题目内容
设函数f（x）是定义在[-1，0）∪（0，1]上的偶函数，当x∈[-1，0）时，f（x）=x3-ax（a∈R）．
（1）当x∈（0，1]时，求f（x）的解析式；
（2）若a＞3，试判断f（x）在（0，1]上的单调性，并证明你的结论；
（3）是否存在a，使得当x∈（0，1]时，f（x）有最大值1？
（1）当x∈（0，1]时，求f（x）的解析式；
（2）若a＞3，试判断f（x）在（0，1]上的单调性，并证明你的结论；
（3）是否存在a，使得当x∈（0，1]时，f（x）有最大值1？
分析：（1）先由函数是偶函数得f（-x）=f（x），然后将所求区间利用运算转化到已知区间上，代入到[-1，0）时，f（x）=x3-ax即可求出在（0，1]上，函数的解析式．
（2）先求导函数，然后利用导数的符号确定函数f（x）在（0，1]上的单调性；
（3）讨论a，分别利用导数研究函数在（0，1]上的最值，然后建立等式关系，解之即可．
（2）先求导函数，然后利用导数的符号确定函数f（x）在（0，1]上的单调性；
（3）讨论a，分别利用导数研究函数在（0，1]上的最值，然后建立等式关系，解之即可．
解答：解：（I）设x∈（0，1]，则-x∈[-1，0），
f(-x)=-x3+ax，f(x)为偶函数，f(x)=-x3+ax
----------（3分）
（II）f'（x）=-3x2+a，∵x∈（0，1]⇒3x2∈[-3，0），
又a＞3，∴a-3x2＞0，即f'（x）＞0，∴f（x）在（0，1]上为增函数．-------------------7 分
（III）当a＞3时，f（x）在（0，1]上是增函数，fmax（x）=f（1）=a-1=1⇒a=2．
（不合题意，舍去）---8 分
当0≤a≤3时，f′(x)=a-3x2，令f′(x)=0，x=
．如下表：
∴f(x)在x=
处取最大值-(
)3+a
=1，⇒a=
＜3⇒x=
＜1．------（10分）
当a＜0时，f'（x）=a-3x2＜0，f（x）在（0，1]上单调递减，f（x）在（0，1]无最大值．
∴存在a=
，使f(x)在(0，1]上有最大值1．--------------------------（12分）
f(-x)=-x3+ax，f(x)为偶函数，f(x)=-x3+ax
|
（II）f'（x）=-3x2+a，∵x∈（0，1]⇒3x2∈[-3，0），
又a＞3，∴a-3x2＞0，即f'（x）＞0，∴f（x）在（0，1]上为增函数．-------------------7 分
（III）当a＞3时，f（x）在（0，1]上是增函数，fmax（x）=f（1）=a-1=1⇒a=2．
（不合题意，舍去）---8 分
当0≤a≤3时，f′(x)=a-3x2，令f′(x)=0，x=
|
| x | (0，
|
|
(
| ||||||||||||
| f'（x） | + | 0 | - | ||||||||||||
| f（x） | 最大值 |
|
|
|
| 3 |
| ||
|
当a＜0时，f'（x）=a-3x2＜0，f（x）在（0，1]上单调递减，f（x）在（0，1]无最大值．
∴存在a=
| 3 |
| ||
点评：本题主要考查了解析式的求解以及函数的单调性，同时考查了利用导数研究闭区间上的最值，属于中档题．
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