Question

14．已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=a+2t}\\{y=a+4t}\end{array}\right.$（t为参数），圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+2cosθ}\\{y=1+2sinθ}\end{array}\right.$（θ为常数）．
（1）求直线l和圆C的一般方程；
（2）若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）直接结合参数方程和普通方程的互化原则，消去相应的参数即可；
（2）根据直线与圆相交或相切这个条件，得到相应的取值范围．

解答 解：（1）由直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=a+2t}\\{y=a+4t}\end{array}\right.$（t为参数），
得$\frac{x-a}{2}=\frac{y-a}{4}$，
∴4x-2y-2a=0，
由圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+2cosθ}\\{y=1+2sinθ}\end{array}\right.$（θ为常数）．
得（x-1）²+（y-1）²=4，
（2）∵直线l与圆C有公共点
结合（1），知
圆心（1，1）到直线l的距离为d=$\frac{|4-2-2a|}{\sqrt{{4}^{2}+（-2）^{2}}}$≤2，
∴|1-a|≤2$\sqrt{5}$，
∴1-2$\sqrt{5}$≤a≤1+2$\sqrt{5}$，
∴实数a的取值范围[1-2$\sqrt{5}$，1+2$\sqrt{5}$]．

点评 本题重点考查了直线和圆的参数方程、直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．