Question

7．已知抛物线x²=8y，F为焦点，点A（-2，4）在抛物线上，当点P的坐标是（-2，$\frac{1}{2}$）时，PF+PA最小．

Answer 1

分析 根据抛物线的标准方程 求出焦点坐标和准线方程，利用抛物线的定义可得|PA|+|PF|=|PA|+|PM|≥|AM|，故|AM|（A到准线的距离）为所求，即可求出点P的坐标．

解答 解：抛物线标准方程 x²=8y，p=4，焦点F（0，2），准线方程为y=-2．
设P到准线的距离为d，则PF=d，
所以求PA+PF的最小值就是求PA+d的最小值
显然，直接过A做y=-1的垂线AQ，当P是AQ与抛物线的交点时，PA+d有最小值
所以P的坐标是（-2，$\frac{1}{2}$）．
故答案为：（-2，$\frac{1}{2}$）．

点评 本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，得到|PA|+|PF|=|PA|+|PM|≥|AM|，是解题的关键．