Question

4．已知圆C₁：（x+2）²+y²=1，圆C₂：x²+y²-4x-77=0，动圆P与圆C₁外切，与圆C₂内切，则动圆圆心的轨迹方程是$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{21}=1$．

Answer 1

分析 由两圆的方程分别找出圆心C₁与C₂的坐标，及两圆的半径r₁与r₂，设圆P的半径为r，根据圆P与C₁外切，得到圆心距PC₁等于两半径相加，即PC₁=r+1，又圆P与C₂内切，得到圆心距PC₂等于两半径相减，即PC₂=9-r，由PC₁+PC₂等于常数2a，C₁C₂等于常数2c，利用椭圆的基本性质求出b的值，可得出圆心P在焦点在x轴上，且长半轴为a，短半轴为b的椭圆上，根据a与b的值写出此椭圆方程即可．

解答 解：由圆C₁：（x+2）²+y²=1，圆C₂：（x-2）²+y²=81，
得到C₁（-2，0），半径r₁=1，C₂（2，0），半径r₂=9，
设圆P的半径为r，
∵圆P与C₁外切而又与C₂内切，
∴PC₁=r+1，PC₂=9-r，
∴PC₁+PC₂=（r+1）+（9-r）=2a=10，又C₁C₂=2c=4，
∴a=5，c=2，
∴b=$\sqrt{21}$，
∴圆心P在焦点在x轴上，且长半轴为10，短半轴为2$\sqrt{21}$的椭圆上，
则圆心P的轨迹方程为：$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{21}=1$．
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{21}=1$．

点评 此题考查了圆与圆的位置关系，椭圆的基本性质，以及动点的轨迹方程，两圆的位置关系由圆心角d与两圆半径R，r的关系来判断，当d＜R-r时，两圆内含；当d=R-r时，两圆内切；当R-r＜d＜R+r时，两圆相交；当d=R+r时，两圆外切；当d＞R+r时，两圆外离．