题目内容

3．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1的左、右顶点分别为A，B，F为椭圆C的右焦点，圆x2+y2=4上有一动点P，P不同于A，B两点，直线PA与椭圆C交于点Q，则$\frac{{k}_{PB}}{{k}_{QF}}$的取值范围是（　　）
A．（-∞，-$\frac{3}{4}$）∪（0，$\frac{3}{4}$）B．（-∞，0）∪（0，$\frac{3}{4}$）C．（-∞，-1）∪（0，1）D．（-∞，0）∪（0，1）

分析 取特殊点P（0，2），P（0，-2），求出$\frac{{k}_{PB}}{{k}_{QF}}$，利用排除法，可得结论．

解答 解：取特殊点P（0，2），则PA方程为y=x+2
与椭圆方程联立，可得7x2+16x+4=0=0，所以x=-2或-$\frac{2}{7}$，所以Q（-$\frac{2}{7}$，$\frac{12}{7}$），
∴kPB=-1，kQF=$\frac{\frac{12}{7}}{-\frac{2}{7}-1}$=-$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{{k}_{PB}}{{k}_{QF}}$=$\frac{3}{4}$．
同理取P（0，-2），$\frac{{k}_{PB}}{{k}_{QF}}$=-$\frac{3}{4}$．
根据选项，排除A，B，C，
故选D．

点评 本题考查圆与圆锥曲线的综合，考查特殊法的运用，属于中档题．

练习册系列答案
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