题目内容
21.已知函数f（x）=sin（ωx+
）（ω>0，0≤
≤π）是R上的偶函数，其图象关于点M（
，0）对称，且在区间［0，
］上是单调函数，求
和ω的值.
21.
解：由f（x）是偶函数，得f（－x）=f（x）
即sin（－ωx+）=sin（ωx+）.
所以－cossinωx=cossinωx
对任意x都成立，且ω＞0，所以得cos=0.
依题设0≤
≤π，所以解得
=
.
由f（x）的图象关于点M对称，得f（
－x）=－f（
+x）.
取x=0，得f（
）=－f（
），所以f（
）=0.
∵f（
）=sin（
+
）=cos
，
∴cos
=0，又ω＞0，得
=
+kπ，k=0，1，2，….
∴ω=
（2k+1），k=0，1，2，….
当k=0时，ω=
，f（x）=sin（
x+
）
在［0，
］上是减函数；
当k=1时，ω=2，f（x）=sin（2x+
）在［0，
］上是减函数；
当k≥2时，ω≥
，f（x）=sin（ωx+
）在［0，
］上不是单调函数.
所以，综合得ω=
或ω=2.
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