Question

21.已知函数f（x）=sin（ωx+）（ω>0，0≤≤π）是R上的偶函数，其图象关于点M（，0）对称，且在区间［0，］上是单调函数，求和ω的值.

Answer 1

21.

解：由f（x）是偶函数，得f（－x）=f（x）

即sin（－ωx+）=sin（ωx+）.

所以－cossinωx=cossinωx

对任意x都成立，且ω＞0，所以得cos=0.

依题设0≤≤π，所以解得=.

由f（x）的图象关于点M对称，得f（－x）=－f（+x）.

取x=0，得f（）=－f（），所以f（）=0.

∵f（）=sin（+）=cos，

∴cos=0，又ω＞0，得=+kπ，k=0，1，2，….

∴ω=（2k+1），k=0，1，2，….

当k=0时，ω=，f（x）=sin（x+）

在［0，］上是减函数；

当k=1时，ω=2，f（x）=sin（2x+）在［0，］上是减函数；

当k≥2时，ω≥，f（x）=sin（ωx+）在［0，］上不是单调函数.

所以，综合得ω=或ω=2.