Question

19．已知抛物线x²=4py（p＞0）的焦点为F，直线y=x+2与该抛物线交于A、B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线，垂足为N，若$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{BF}+（\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{BF}）•\overrightarrow{FN}=-1-{5p}^{2}$，则p的值为$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），把y=x+2代入x²=4py得x²-4px-8p=0．利用韦达定理，结合向量的数量积公式，即可得出结论．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），把y=x+2代入x²=4py得x²-4px-8p=0．
由韦达定理得x₁+x₂=4p，x₁x₂=-8p，所以M（2p，2p+2），所以N点（2p，0）．
同理y₁+y₂=4p+4，y₁y₂=4
∵$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{BF}+（\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{BF}）•\overrightarrow{FN}=-1-{5P}^{2}$，
∴（-x₁，p-y₁）•（-x₂，p-y₂）+（-x₁-x₂，2p-y₁-y₂）•（2p，-p）=-1-5p²，
代入整理可得4p²+8p-5=0，
∴p=$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．