Question

（本小题满分13分）

在平面直角坐标系中，为坐标原点，以为圆心的圆与直线相切．

（Ⅰ）求圆的方程；

（Ⅱ）若直线：与圆交于，两点，在圆上是否存在一点，使得，若存在，求出此时直线的斜率；若不存在，说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）;（Ⅱ）存在点，使得.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）设圆的半径为，因为直线与圆相切，所以 ，

即可求出圆的方程为 .（Ⅱ）方法一：因为直线：与圆相交于，两点， 所以 ， 所以或 ，假设存在点，使得，因为，在圆上，且，同时由向量加法的平行四边形法则可知，四边形为菱形，所以与互相垂直且平分，所以原点到直线：的距离为 10分

即 ，解得， ，经验证满足条件，所以存在点，使得 ；

方法二：假设存在点，使得．记与交于点，因为，在圆上，且，由向量加法的平行四边形法则可知四边形为菱形，因为直线斜率为，显然，所以直线方程为，， 解得， 所以点坐标为，因为点在圆上，所以，解得，即，经验证满足条件，所以存在点，使得.

试题解析：【解析】
（Ⅰ）设圆的半径为，因为直线与圆相切，

所以 3分

所以圆的方程为 5分

（Ⅱ）方法一：因为直线：与圆相交于，两点，

所以 ，

所以或 7分

假设存在点，使得 8分

因为，在圆上，且，同时

由向量加法的平行四边形法则可知

四边形为菱形，所以与互相垂直且平分 9分

所以原点到直线：的距离为 10分

即 ，解得， ，经验证满足条件 12分

所以存在点，使得 13分

方法二：假设存在点，使得．记与交于点

因为，在圆上，且，由向量加法的平行四边形法则可知四边形为菱形，

因为直线斜率为，显然，所以直线方程为 7分

， 解得， 所以点坐标为 9分

因为点在圆上，所以，解得 11分

即，经验证满足条件 12分

所以存在点，使得 13分.

考点：1.圆的方程；2.直线与圆的位置关系.