Question

【题目】已知是方程 的两个不等实根，函数的定义域为.

（1）当时，求函数的最值；

（2）试判断函数在区间的单调性；

（3）设，试证明：对于，若，则.

（参考公式： ，当且仅当时等号成立）

Answer 1

【答案】(1) 的最小值为， 的最大值为；

(2)单调递增函数；(3)证明见解析.

【解析】试题分析：（1）求得函数的导数，得到函数的单调性，即可求解函数的最值；

（2）当时，求得的值，求得，可判定当时， ，即可得到函数的单调性；

（3）由（2）知，得，化简，进而可得，应用参考公式，即可得出证明.

试题解析：

(1)当时，方程的两实根为

，

当时， ， 在为单调递增函数，

的最小值为， 的最大值为；

（2）

由题知： 时，所以，

在区间为单调递增函数；

（3）由（2）知，

又由题得： ，

∴

所以

由于等号不能同时成立，故得证.