题目内容

设 $数学公式$ =（-1，1）， $数学公式$ =（x，3）， $数学公式$ =（5，y）， $数学公式$ =（8，6），且 $数学公式$ ∥ $数学公式$ ，（4 $数学公式$ + $数学公式$ ）⊥ $数学公式$ ．
（1）求 $数学公式$ 和 $数学公式$ ；
（2）求 $数学公式$ 在 $数学公式$ 方向上的射影；
（3）求λ₁和λ₂，使 $数学公式$ =λ₁ $数学公式$ +λ₂ $数学公式$ ．

解：（1）∵ $\text{[math]}$ ，∴6x-24=0．∴x=4．
∴ $\text{[math]}$ ．
∵4 $\text{[math]}$ =（4，10），
（4 $\text{[math]}$ ）⊥ $\text{[math]}$ ，∴5×4+10y=0．∴y=-2．
∴ $\text{[math]}$ =（5，-2）．
（2）cos＜ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ＞= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 方向上的投影为| $\text{[math]}$ |cos＜ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ＞=- $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．
（3）∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
解得λ₁=- $\text{[math]}$ ，λ₂= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）利用向量共线定理即可得出6x-24=0；利用向量垂直与数量积的关系 $\text{[math]}$ ? $\text{[math]}$ 即可得出；
（2）利用 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 方向上的射影公式| $\text{[math]}$ |cos＜ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ＞及夹角公式即可得出；
（3）利用向量相等即可得出．
点评：熟练掌握向量共线定理、向量垂直与数量积的关系 $\text{[math]}$ ? $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 方向上的射影公式| $\text{[math]}$ |cos＜ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ＞及夹角公式、向量相等是解题的关键．