Question

设m＞1，在约束条件

y≥x y≤mx x+y≤1

下，目标函数Z=x+my的最大值小于2，则m的取值范围为

（1，1+

2

）

．

Answer 1

分析：根据m＞1，我们可以判断直线y=mx的倾斜角位于区间（

π

4

，

π

2

）上，由此我们不难判断出满足约束条件

y≥x y≤mx x+y≤1

的平面区域的形状，再根据目标函数Z=x+my对应的直线与直线y=mx垂直，且在直线y=mx与直线x+y=1交点处取得最大值，由此构造出关于m的不等式组，解不等式组即可求出m 的取值范围．

解答：解：∵m＞1
故直线y=mx与直线x+y=1交于（

1

m+1

，

m

m+1

）点，
目标函数Z=X+my对应的直线与直线y=mx垂直，
且在（

1

m+1

，

m

m+1

）点，取得最大值
其关系如下图所示：
即

1+m2

m+1

＜2
又∵m＞1
解得m∈（1，1+

2

）
故答案为：（1，1+

2

）．

点评：本题考查的知识点是简单线性规划的应用，其中根据平面直线方程判断出目标函数Z=X+my对应的直线与直线y=mx垂直，且在（

1

m+1

，

m

m+1

）点取得最大值，并由此构造出关于m的不等式组是解答本题的关键．