Question

为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距8km的A，B两点各建一个考察基地．视冰川面为平面形，以过A，B两点的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系（图）．在直线的右侧，考察范围为到点B的距离不超过km的区域；在直线的左侧，考察范围为到A，B两点的距离之和不超过km的区域．

(1)求考察区域边界曲线的方程；

(2)如图所示，设线段，是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km，以后每年移动的距离为前一年的2倍，求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间．

 

Answer 1

解（1）设边界曲线上点Ｐ的坐标为．当时，由题意知．

当时，由知，点Ｐ在以为焦点，

长轴长为的椭圆上．

此时短半轴长．

因而其方程为．

故考察区域边界曲线（如图）的方程为

和．

（2）设过点的直线为，过点的直线为，则直线，的方程分别为

设直线平行于直线，其方程为代入椭圆方程，

消去，得．

由，解得，或．

从图中可以看出，当时，直线与的公共点到的距离最近，此时直线

的方程为与之间的距离为．

又直线到和的最短距离而，所以考察区域边界到冰川边界线的最短距离为３．设冰川边界线移动到考察区域所需的时间为年，

则由题设及等比数列求和公式，得，所以．

故冰川边界线移动到考察区域所需的时间为４年.